预测可信到哪里：残差与斜率区间

目标：利用残差检查直线模型，并在明确条件下为回归斜率计算置信区间。

第 23 课得到 ŷ=1.1+1.1x，R²≈0.9167。这个结果很整齐，但高 R² 不能回答「直线适不适合」「误差是否相关」「斜率估得多准」。拟合只是分析的一步。

一个基础模型可以写成 Y=a+bx+ε，ε 是在给定 x 下未被直线解释的随机误差。用于本课小样本 t 区间的条件是：条件均值关系为直线；误差独立；误差方差相同；给定 x 后误差近似正态且均值为零，并把 x 看作测得足够准确。计算出一条直线本身不需要所有条件，但区间解释依赖它们。

先把误差单独画出来

五个 x 对应残差为 −0.2、0.7、−0.4、−0.5、0.4。横轴画 x 或拟合值，纵轴画残差，零线应穿过散布中部。再按日期顺序画一次，观察是否连续同号或随时间变化。

残差现象	应检查的问题
明显 U 形或倒 U 形	直线可能漏掉曲率
越往右散得越开	误差方差可能不恒定
按时间连续同号	误差可能存在时间关联
个别远点决定斜率	录入、范围与高影响观测

五天太少，没看出模式不等于证明条件成立。本例主要练习算术；若要作可靠经营预测，还需更多覆盖目标时段的数据与样本外验证。

非直线关系可以考虑合适的变换或加入平方项，但应有业务理由并重新检查残差。比如 Y=a+bx+cx² 对 x 是曲线，却仍对未知参数 a、b、c 线性；「回归是线性」与「图形是一条直线」不是完全相同的含义。不要靠不断加项只追求样本内 R²。

从残差到斜率的误差范围

本例 n=5、SSE=1.1。已经用数据估计了截距和斜率两个量，残差方差估计分母为 n−2，而不是 n−1：

残差标准差 se = √[SSE/(n−2)] = √(1.1/3) ≈ 0.6055
斜率标准误 SE(b) = se/√Sxx = 0.6055/√10 ≈ 0.1915
df = n−2 = 3
95% 斜率区间 = b ± t*×SE(b)
             = 1.1 ± 3.182×0.1915 ≈ [0.491,1.709]

se 的单位与 y 一样，为十杯；SE(b) 的单位是十杯/百人。要区分「残差标准差」和「斜率标准误」，它们描述的对象不同。上述区间是在模型条件成立时对总体线性斜率的估计范围，不是每一天的销量预测范围。

一条平均线与一个新观测

同一客流 x0 下，「平均销量的区间」只包含估计直线的不确定性；「明天实际销量的预测区间」还要包含明天自身的随机误差，通常更宽。对应半宽分别是：

平均响应：t*×se×√[1/n+(x0−x̄)²/Sxx]
单次预测：t*×se×√[1+1/n+(x0−x̄)²/Sxx]

在 x0=3.5 时，点预测 4.95 十杯。平均响应半宽约 0.914 十杯，单次预测半宽约 2.133 十杯，因此单次 95% 预测区间约 [2.82,7.08] 十杯，即 28.2–70.8 杯。这展示了为什么 49.5 杯的点预测不能当作保证，尤其只用了五个点。

跟着做：去到数据之外

将 x0 改为 10，即客流 1000 人。
算点预测，并检查它是否还处在原始 100–500 人范围内。
说明仅机械扩大公式区间，能否解决外推风险。

核对答案

点预测 1.1+1.1×10=12.1 十杯，即 121 杯。它已明显超出数据范围。公式区间会随距离扩大，但仍假设同一条直线适用，不能覆盖容量上限、排队拥堵等结构变化。应收集相关范围的数据或采用有机制依据的模型。

独立练习

某直线拟合 n=12，SSE=40，Sxx=25，斜率 b=0.8。假设条件成立，求残差标准差、斜率标准误和 95% 斜率区间；使用 df=10 的 t*=2.228。

参考答案