顺序到底重不重要：排列与组合

目标：先判断顺序与重复是否重要，再选择正确的计数方法。

店里有五种不同风味，想选三种做试饮。有两种完全不同的问题：如果三杯有「第一杯、第二杯、第三杯」的位置，薄荷—香草—榛果与榛果—香草—薄荷是两个方案；如果只装成一份不讲顺序的试饮组合，它们是同一份。

公式之前先说清楚什么算「不同结果」。否则即使背对公式，也会数错对象。

从位置逐个填写

五种风味中选三种，不能重复，且有顺序。第一个位置有 5 种选择，第二个剩 4 种，第三个剩 3 种，共 5×4×3=60。这个乘法规则来自逐步分支，不是在声称三次选择的概率独立。

一般地，从 n 个不同对象中有序选择 r 个、不放回，有 n!/(n−r)! 种排列。阶乘 n! 表示从 n 乘到 1；规定 0!=1，这样全部选完时公式仍能用。

若允许重复，每个位置都还有 5 种选择，三杯有 5³=125 种。不能一边说「可以重复」，一边使用逐渐减小的可选数量。

去掉被重复计算的顺序

无序选择三种时，每一组都被 60 的有序计数重复计算 3!=6 次。所以组合数为 60/6=10，记作 C(5,3)。一般公式：

C(n,r) = n! / [r!(n−r)!]

选中的 r 个和没选中的 n−r 个完全互相确定，因此 C(n,r)=C(n,n−r)。从五种里挑三种，也就是决定哪两种不选。

不要把「不知道顺序」当成「无序」。颁奖的一二三等奖本来就有不同含义，即使你没看到颁奖过程，仍应计算排列。

两个常见变体

把 4 张标签排成一列，其中两张是 A、两张是 B。如果先把每张当成不同卡片有 4! 种，但交换两个 A 或两个 B 都不产生新字样，因此有 4!/(2!2!)=6 种，分别为 AABB、ABAB、ABBA、BAAB、BABA、BBAA。

五位不同的人围圆桌坐，如果只把整体旋转视作同一座次，先固定一位，剩余四位有 4!=24 种。若座位有编号，则旋转后座位变了，应为 5!=120。本课不把镜像反射视作相同；是否算同一结果必须先约定。

跟着做：算一个抽取概率

十张不同订单卡中四张来自会员，等可能地抽三张、不放回、不关心顺序。求恰有两张会员卡的概率。

1. 计算所有三张组合数。
2. 分别选择两张会员和一张非会员，计算符合条件的组合数。
3. 两者相除；检查所有组合是否等可能。

独立练习

六位员工中选一名组长和一名记录员，同一人不能兼任；另从六位员工中选两名普通代表。两种安排各有多少？如果三位员工依次选两种饮品之一、允许相同饮品，一共有多少种点单序列？

参考资料

• Head First Statistics：出版方目录与公开预览，第 6 章