一起变化意味着什么：相关

目标：结合散点图和相关系数描述两个数值变量的线性关系，并区分关联与因果。

店长还想安排备货。这里换到另一组历史数据：五个营业日的门前客流与饮品销量。它们不是正式流程实验的五组结果，而是独立的观察资料，后面三课会持续使用。

横轴 x、纵轴 y，每一天画一个点。不要为了求相关而把两列分别从小到大排序，那会破坏原本的配对关系。

y（十杯）
7 |                 ●
6 |
5 |             ●
4 |     ●   ●
3 |
2 | ●
  +---------------------
    1   2   3   4   5    x（百人）

点大体向右上方延伸，意味着正向关系。先看形状，再看数字：有无弯曲、离群点、分群、随 x 扩大的散布？一个相关系数会压缩掉很多结构。

给线性共同变化一个量

Pearson 相关系数记作 r。先分别减去均值，使两列中心都归零；同向偏离的乘积为正，反向为负，再用两列波动大小标准化：

r = Σ[(x−x̄)(y−ȳ)] / √[Σ(x−x̄)² × Σ(y−ȳ)²]

本例 x̄=3，ȳ=4.4。计算表如下：

因此 r=11/√132≈0.9574。r 没有单位，介于 −1 与 1，越接近两端，样本中的直线关系越紧密。若一列所有值相同，分母为零，r 未定义，不能写作 0。

相关不能回答的事

r=0 不代表没有任何关系。比如 x=−2、−1、0、1、2，y=4、1、0、1、4，呈 U 形，r 却为 0，因为左右两边的线性共同变化抵消了。

r 很高也不证明因果。天气、节假日和营销活动可能同时影响客流与销量；本数据仅五天，也可能有强烈时间关联。即使客流有助于预测销量，「花钱增加客流一定带来多少新增销售」仍是另一个需要设计的问题。

相关对调 x、y 不变；回归预测却有明确方向，下一课会说明。把 x 从百人改成人、把 y 从十杯改成杯，只做正倍数换单位，r 也不变；负倍数则会反转符号。

跟着做：换单位再解释

1. 把客流改写为 100、200、300、400、500 人。
2. 不重新逐项计算，利用公式说明 r 为何不变。
3. 写一句只涉及观察关联、不越界到因果的描述。

独立练习

分别描述以下情况：散点形成下降直线；形成明显 U 形；九个点无明显关系但一个极远点把 r 拉到 0.9。应怎样继续检查？

参考资料

• NIST：散点图、非线性结构与因果边界
• Head First Statistics：出版方目录，第 15 章