还要等几次：几何分布

目标：在独立且成功概率固定的试验中，计算首次成功所需次数的概率与期望。

假设每位被邀请的顾客独立地以 0.2 的概率愿意参加一次试饮。员工想知道：「直到第一位答应，需要邀请几个人？」定义 X 为首次成功所在的试验编号，取值从 1 开始。本课的成功只表示我们计数的事件，不代表道德上的好坏。

若 X=3，过程必须是「拒绝、拒绝、答应」。独立让三个概率可以相乘，得到 0.8×0.8×0.2=0.128。若 X=k，就必须先失败 k−1 次，再成功一次：

P(X=k) = (1−p)^(k−1) × p，k=1,2,3,…

这就是几何分布。它需要每次都是成功或失败、成功率 p 固定、各次独立。如果员工不断改进邀请话术，或朋友成群做出同一决定，原模型就不再合适。

用补集回答「还没成功」

前四次都失败的概率是 P(X>4)=0.8⁴=0.4096。所以四次以内至少成功一次的概率是 1−0.4096=0.5904。不必把 X=1、2、3、4 的概率分别计算再相加，补集更短，也更不容易漏项。

期望 E(X)=1/p=5 次，方差 Var(X)=(1−p)/p²=20，标准差约 4.472 次。期望不是硬上限：即使平均等五次，超过五次的概率仍为 0.8⁵=0.32768。

为什么期望是 1/p？用 m 表示从现在开始所需次数的期望。无论如何先试一次；若失败，概率为 1−p，后面又从同样的状态开始，所以 m=1+(1−p)m，整理得 pm=1。这也解释了独立、固定成功率为何不可省略。

过去的失败不会让下一次「该成功了」

已经失败三次后，下一次成功的概率仍为 0.2。未来至少还失败两次的概率仍为 0.8²=0.64，不受前三次影响。这叫无记忆性；它依赖模型假设，并不是任何等待现象都有这种性质。

有些资料用 Y 表示「首次成功之前的失败次数」，从 0 开始。它与本课 X 的关系是 Y=X−1，故 E(Y)=(1−p)/p=4。公式看似相差 1，可能只是定义不同，先检查随机变量再争论答案。

跟着做：把成功率提高

1. 只把 p 从 0.2 改为 0.4。
2. 预测平均所需次数与四次以内成功概率如何变化。
3. 计算两者，再写一句不夸大的经营解释。

独立练习

假设每次检测独立地以 0.1 的概率发现一处瑕疵。计算恰在第 3 次首次发现、前 3 次至少发现一次的概率，以及首次发现前的平均未发现次数。

实际记录的邀请次数长尾特别重时，先查不同顾客、时段的成功率是否混在一起，不要仅靠调大均值掩盖模型条件的问题。

参考资料

• Head First Statistics：出版方目录与公开预览，第 7 章的几何分布