固定次数中成功几次：二项分布

目标：检查二项分布条件，计算固定试验次数中的成功数量概率。

上一课一直试到第一次成功。这次店员只邀请五位顾客，然后下班。假设每位独立地以 0.2 的概率答应，令 X 为五人中的答应人数。X 可以是 0 到 5；试验总数固定，成功数随机，这叫二项分布，记为 X∼Bin(n,p)。

使用前检查四件事：次数 n 固定；每次只有成功与失败；各次独立；成功概率 p 相同。「不是正态分布」不是使用二项分布的理由，数据必须对应这种生成过程。

恰好两次成功，先固定一种顺序

五次中「成功、成功、失败、失败、失败」概率为 0.2²×0.8³。但两次成功也可以出现在其他位置，共有 C(5,2)=10 种。不同序列互斥，所以相加等于乘以序列数：

P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k)
P(X=2) = 10×0.2²×0.8³ = 0.2048

组合数负责数位置，幂次负责每个具体序列的概率。少了组合数，就只算到了十种序列中的一种。

这六项相加为 1。至少两位答应的概率为 1−P(X=0)−P(X=1)=0.26272；不要将「至少两位」只写成 P(X=2)。

均值与波动来自小试验的相加

每次成功记 1，失败记 0，这个小变量的期望是 p，方差是 p(1−p)。X 是 n 个独立小变量之和，应用第 6 课的规则：E(X)=np，Var(X)=np(1−p)。

本例期望 1 人、方差 0.8、标准差约 0.894 人。观察到 0 人并不违背「期望 1 人」，因为概率表中 0 人本来就有约 32.8% 的概率。

若从只有十位顾客的固定名单中不放回抽五位，且名单中恰有两位愿意参加，那么各次成功率随已抽情况变化，不能直接当五次独立试验。可以用上一课之前学过的组合计数；抽样比例很小才可能使用独立近似。

跟着做：次数增加，单次概率不变

1. 将邀请人数从 5 改为 10，仍令 p=0.2。
2. 计算至少一人答应的概率。
3. 计算期望与标准差，并说明「至少一次成功概率上升」不意味着 p 变大。

独立练习

独立发出四张券，每张以 0.5 概率被核销。求恰核销两张、至少核销三张的概率，以及核销张数的期望与方差。若四张券都发给同一家庭，模型最需要重新检查哪个条件？

参考资料

• NIST：二项分布
• Head First Statistics：出版方目录，第 7 章