长期平均会怎样：随机变量与期望

目标：为一个离散随机变量列出分布，计算期望和方差，并正确处理金额变换。

咖啡店发放随机优惠券，每位顾客拿到 0、2 或 10 元的优惠，概率分别为 0.7、0.2、0.1。定义随机变量 X 为「发出一张券时承诺的优惠金额」。随机变量把随机结果对应到数字，便于回答总成本与波动问题。

x：优惠金额	P(X=x)	x×P(X=x)	x²×P(X=x)
0 元	0.7	0	0
2 元	0.2	0.4	0.8
10 元	0.1	1.0	10.0
合计	1.0	1.4	10.8

概率必须非负且合计为 1。上表明确包含 0 元结果，否则只看有奖券会高估平均金额。

期望不是下一次的保证

期望是按概率加权的平均：E(X)=ΣxP(X=x)=1.4 元。虽然没有 1.4 元的券，长期反复按这个机制发券，平均面额会趋近于这个数。它不保证每十张券恰好有七张零元券，也不保证下一张价值 1.4 元。

方差衡量围绕期望的波动：Var(X)=E[(X−E(X))²]。计算时常用等价形式 E(X²)−[E(X)]²，得到 10.8−1.4²=8.84 元平方，标准差约 2.973 元。

注意 E(X²)=10.8 与 [E(X)]²=1.96 不同。先平方每个可能值再平均，与先平均再平方，是两项不同操作。

如果所有券都有 1 元固定制作费，成本 Y=X+1，则 E(Y)=2.4，方差仍为 8.84。固定加一个数只平移，不改变各结果间的距离。如果改为面额翻倍 Z=2X，则期望 2.8，方差为 4×8.84=35.36，标准差翻倍。

概括起来：E(aX+b)=aE(X)+b，Var(aX+b)=a²Var(X)。平方让负倍数也得到非负的方差。

对 100 张按同一机制独立发出的券，总面额 S 的期望为 100×1.4=140 元；方差为 100×8.84=884，标准差约 29.732 元。期望相加不要求独立，方差直接相加则需要至少互不相关；本课程通常用独立来保证这一点。

如果系统先选一个金额，再让 100 张券全取相同金额，那是 S=100X，方差为 100²×8.84。表面上都是 100 张券，关联方式不同，风险完全不同。

同理，独立 X、Y 的差也满足 Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)。减法会改变方向，却不会使随机误差互相自动抵消。

设参加活动每张收取 2 元费用，店铺的净金额 R=2−X。

核对结果

R 为 2、0、−8，概率仍为 0.7、0.2、0.1。期望 2×0.7+0−8×0.1=0.6 元，也等于 2−1.4。方差 (-1)²×8.84=8.84。这是所定义活动金额的模型，未包含采购、人力、未核销等现实成本，不能直接叫整家店利润。

若补贴金额 W=3X−2，求其期望和方差。两张独立优惠券的总面额与同一张券面额翻倍，期望和方差各有什么不同？

参考答案

E(W)=2.2，Var(W)=79.56。两张独立券的合计期望 2.8、方差 17.68；同一张翻倍的期望也为 2.8、方差为 35.36。若误写成方差 17.68，检查你把「两个独立结果」与「同一个结果乘 2」混淆了吗。