比例符合预期吗：卡方拟合优度

目标：把分类计数与预先指定的比例比较，完成卡方拟合优度检验。

街角咖啡给试饮顾客随机发三种口味，系统声称三种各占三分之一。120 次独立分配中，实际计数为 30、40、50。它们与 40、40、40 不同，但随机分配本来就不保证每次完全均分。我们要判断偏离是否大得难以用该模型解释。

H0：三类概率都是 1/3；H1：至少一类概率不同。注意它检验的是一次分配落在哪类，输入应为计数，不是每类的均值或满意度分数。

衡量「相对预期有多偏」

O 表示实际频数，E 表示 H0 下的期望频数。各类 E=n×指定概率=120/3=40。统计量为 χ²=Σ(O−E)²/E，χ 读作 chi，中文通常叫卡方。

平方避免正负抵消，除以 E 让偏差与预期规模相比。统计量越大，数据与 H0 的相容程度越低。它不可能为负。

三类计数总数固定，知道前两类就能确定第三类，因此自由度为 k−1=2。这里类别概率在采样前就指定，没有从同一数据额外拟合参数。若拟合模型时估计了 m 个参数，常见设置下还要扣除 m，且应确认相应估计方法和渐近条件，不能不分情况总用 k−1。

df=2 的右尾 5% 临界值为 5.991。观察到 5，没有进入拒绝区域，p≈0.082085；在 α=0.05 下不拒绝等概率假设。不是证明系统完全公平，而是本次样本未提供足够反证。

查的是右尾

卡方分布不对称，只在非负数上取值。拟合优度检验中越大越不相容，因此查右尾，不把 p 值再乘 2。这里的卡方是分类频数检验；用卡方检验正态总体方差是另一种应用，不能混用统计量。

观察必须独立，类别必须互斥且覆盖所有结果，所有 E 必须为正，期望频数还要足够大。本课程采取每个 E 至少 5 的保守筛查。样本稀疏时，可按事先有意义的类别合并，或使用精确/模拟方法；不能看到结果后为了显著随意重分组。

跟着做：让偏离加倍

1. 保持总数 120，把观察值改为 20、40、60。
2. 计算新的三项贡献。
3. 对照 df=2 的临界值说明结论。

独立练习

三类事前指定等概率，独立观察 60 次得到 18、22、20。计算卡方统计量与自由度，在 5% 水平作判断。若第三类的期望只有 1，是否仍能不加说明地使用同一张临界值表？

如果 O 总数与 E 总数不同，先检查类别遗漏与概率和。下一课会从预先给出的比例，改为根据一张二维表推导独立模型下的期望。

参考资料

• NIST：卡方拟合优度检验
• NIST：卡方临界值表