知道一件事以后：条件概率与贝叶斯

目标：用条件概率和完整分组计算更新后的概率，避免把条件方向弄反。

「用券的会员多不多」可能指会员中多少人用券，也可能指用券的人中多少是会员。词语很相似，分母却不一样。先把 100 位顾客整理成表：

从全体随机选一位，会员且用券概率为 P(M∩C)=20/100=0.20。如果已经知道是会员，剩下的范围只有 40 人，故 P(C|M)=20/40=0.50。竖线读作「在……条件下」。反过来，P(M|C)=20/32=0.625。

一般公式是 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，前提为 P(B)>0。移项就有乘法规则 P(A∩B)=P(B)P(A|B)。只有独立时，才可以把条件概率替换为原来的 P(A)。

本例 P(C|M)=0.50，不等于总体用券概率 0.32，所以在这张表所定义的抽取模型中，会员与用券不独立。这仍不证明办会员导致用券增加：可能爱领券的人更愿意办会员。

贝叶斯：沿着另一方向读表

门店用设备筛查有瑕疵的咖啡豆包装。假设瑕疵率为 2%，设备对瑕疵包装报警概率为 90%，对正常包装误报警概率为 5%。报警后，真的有瑕疵的概率是多少？

先想象 10000 包，这样每条分支都能用数量说明：

10000 包
├─ 瑕疵 200 包：报警 180，未报警 20
└─ 正常 9800 包：报警 490，未报警 9310

报警总共 180+490=670 包，真的有瑕疵的占 180/670≈26.87%。90% 是「瑕疵时报警」，不是「报警时瑕疵」。正常包装的基数很大，即使误报率只有 5%，也贡献了很多报警。

用符号写，D 表示瑕疵，A 表示报警：

P(A) = P(A|D)P(D)+P(A|Dᶜ)P(Dᶜ)
     = 0.90×0.02+0.05×0.98 = 0.067
P(D|A) = P(A|D)P(D)/P(A) = 0.018/0.067 ≈ 0.2687

第一行是全概率公式：把总体分成不重叠且完整的分组，分别算对目标事件的贡献。第二行是贝叶斯公式。在这里，它只是交集概率有两种写法所得到的重新排序，不需要神秘的新规则。

跟着做：设备没变，来货变了

1. 只把瑕疵率从 2% 改为 10%。
2. 仍以 10000 包画出两条报警分支。
3. 算新的报警后瑕疵概率，解释为什么设备一样，答案却变化。

独立练习

从本课顾客表随机选一位，已知他没有用券，求他是会员的概率。再判断事件「是会员」和「不是会员」是否独立，说明依据。

如果概率树的叶子加起来不是 1，检查各节点的两条分支是否相加为 1。实际应用还要问输入概率来自哪里：把一次小样本观察比例当成精确已知概率，计算再精确也不能消除输入的不确定性。

参考资料

• Head First Statistics：出版方目录与公开预览，第 4 章的条件概率、全概率与贝叶斯主题