两个分类有关吗：列联表与独立性检验
目标：从列联表推导独立假设下的期望频数，完成卡方独立性检验。
上一课问三种口味比例是否符合指定值。现在想问「顾客所在渠道」和「是否用券」有没有关系。两个都是分类变量，可用二维列联表表示；每位顾客只能进入一个格子。
假设独立随机观察 200 位顾客，得到：
| 渠道 | 用券 | 不用券 | 合计 |
|---|---|---|---|
| 线下 | 40 | 60 | 100 |
| 线上 | 60 | 40 | 100 |
| 合计 | 100 | 100 | 200 |
H0：渠道与用券相互独立；H1：两者存在关联。样本中的线下用券率 40%，线上 60%，差 20 个百分点。但要把样本差异推广到总体，需要看它是否超出独立模型下的常见波动。
期望频数从哪里来
若独立，各渠道的用券比例应相同。全体用券比例为 100/200=0.5，线下 100 位顾客中就预期有 100×0.5=50 位用券。一般公式为：
某格的期望 E = 该行合计 × 该列合计 / 总计
本例四格都为 50。用上一课同样的统计量，各格贡献 (10²)/50=2，合计 χ²=8。对 r 行 c 列表，自由度为 (r−1)(c−1)；本例为 1。直觉上，固定行列合计后，一旦左上格定了，剩余三格就都被确定。
df=1 的右尾 5% 临界值 3.841；8 更大，p≈0.004678，在 5% 水平拒绝独立假设。本课计算的是没有连续性修正的 Pearson 卡方检验；有些软件对 2×2 表默认作修正，结果可能不同，应核对设置后比较。
关联的大小要另外描述
小 p 值不会告诉我们关联有多强。用券率差 20 个百分点就是直观的效果描述。也可以计算 Cramér's V：V=√[χ²/(n×min(r−1,c−1))]，本例 √(8/200)=0.2。V 没有正负方向，也不自带通用的「重要」门槛，经营意义仍需结合概率差和业务问题。
这是一项观察研究：也许线上顾客本来就更习惯领券，不能据此声称「把一个人转到线上必然增加其用券概率」。卡方检验没有替代随机实验。
跟着做：接回流程实验
第 17 课正式实验 A 有 100 单准时、100 单不准时，B 有 130 单准时、70 单不准时。沿用相同的 400 单，不是重新收集的数据。
- 写出行合计 200、200，列合计 230、170，总计 400。
- 按公式写四个期望频数。
- 计算卡方值，并与 df=1 的临界值比较。
完整计算
每行的 E 分别为 115、85。四格偏差绝对值都是 15，因此 χ²=2×225/115+2×225/85≈9.20716，p≈0.002411。准时与流程组有关，方向来自原表：B 比 A 高 15 个百分点。其近似差值区间已经在第 17 课算过。该指标为次要结果，不因另换一个检验名称就成为独立的新证据。
独立练习
两行计数为 (18,12) 与 (12,18)。求各格期望、自由度及 χ²，在 5% 水平判断。若同一个顾客在两行各出现一次，这个独立性检验还能照搬吗？
参考答案
总计 60，各行和各列都是 30，各 E=15；df=1，χ²=4×9/15=2.4，没有超过 3.841，p 约 0.1213，不拒绝独立假设。同一顾客前后两次测量是配对数据，观测相关，不能当作本课的独立计数；需要配对分类资料的方法，例如另学 McNemar 检验。
如果结果与软件不同，先检查是否把百分比当计数、是否包括了合计行列、是否启用了修正。小期望频数时不要强用近似；2×2 稀疏表可考虑 Fisher 精确检验，并说明所用方法。最终报告应一起保留原始计数、比例差和设计条件。