平均一样还差在哪：离散程度与标准分数
目标：结合四分位距、标准差和标准分数，解释数据的波动与某次观测的位置。
两家店的等待时间分别为 4、4、4、4 与 1、1、7、7，均值都是 4 分钟。第一家容易预期，第二家却可能让一半顾客明显久等。中心位置必须搭配离散程度，才够描述体验。
先照顾中间的一半
继续使用 2、3、3、4、4、5、6、13。极差等于最大值减最小值，是 13−2=11。它只看两个端点，因此对单个异常观测很敏感。
本课程采用「上下半组各取中位数」求四分位数；总数为奇数时先排除整体中位数。下半组 2、3、3、4 的中位数 Q1 为 3，上半组 4、5、6、13 的中位数 Q3 为 5.5。四分位距 IQR = Q3−Q1 = 2.5，描述中间约一半数据的跨度。软件还可能使用插值定义，小样本结果不同，比较前需说明算法。
箱线图把箱体画在 Q1 到 Q3，中间标出中位数 4。用常见的 1.5×IQR 规则，围栏是 −0.75 与 9.25；13 在围栏外，单独标点。须延伸到围栏内最远的观测值，即 2 和 6，而非直接伸到围栏数字。被标记只意味着值得调查，不意味着必然错误。
百分位数把排序位置推广到任意比例。例如本课程演示 P90 时用最近秩法：取第 ceil(0.9×8)=8 项，得到 13。ceil 表示向上取整。如此小的样本中，P90 对单个观测很敏感。
让所有观测都参与：标准差
八个值均值为 5。依次减去均值，得到偏差 −3、−2、−2、−1、−1、0、1、8；偏差和是零，直接平均无法描述波动。改为平方后相加：
平方偏差和 = 9+4+4+1+1+0+1+64 = 84
若这八单就是关心的完整总体，方差为 84/8=10.5，总体标准差为 √10.5≈3.240 分钟。若把它们当作更大总体的随机样本，用 s²=84/(8−1)=12 估计总体方差，样本标准差 s=√12≈3.464 分钟。
为什么除以 n−1？样本均值也是从这批数据估出来的，偏差和被固定为零，少了一个自由变化的量。对独立同分布、方差有限的样本，除以 n−1 可使方差估计无偏；不代表标准差本身也严格无偏。后文没有特别声明时，样本标准差都采用 n−1。
方差单位是「分钟平方」，开平方后才回到分钟。把分钟全部换成秒，标准差乘 60，方差乘 3600。
一次观测离中心多远
标准分数 z=(x−μ)/σ 使用总体均值 μ 和总体标准差 σ；用样本描述时也可以计算 (x−x̄)/s。13 分钟的样本标准分数约为 (13−5)/3.464=2.31。它表示高于样本均值约 2.31 个样本标准差，本身不提供尾部概率；概率还需要分布模型，第 11 课再讨论。
跟着做与独立练习
先将八单中的 13 改为 5：排序，求新均值，然后算平方偏差和与样本标准差。预判波动是增大还是缩小，再展开答案。
引导练习答案
排序后为 2、3、3、4、4、5、5、6，均值 4，平方偏差和 12，样本方差 12/7≈1.7143，标准差约 1.309。均值和标准差同时下降。若算出负方差，说明平方或减法步骤有错；若标准差约 1.225，你除以了 8，算的是总体描述值。
独立分析样本 2、4、4、6：求均值、样本方差、样本标准差和四分位距；最后说明把所有观测加 10 后，哪些量改变。
参考答案
均值 4，平方偏差和 8，样本方差 8/3≈2.6667，标准差约 1.633。Q1=3，Q3=5，IQR=2。每项加 10 后，均值与四分位数各增加 10；各点之间的距离不变，方差、标准差和 IQR 都不变。