样本换一批会怎样：抽样分布与标准误

目标：区分原始观测的波动与统计量的波动，并计算均值和比例的标准误。

从一家店抽 25 单求平均，再换 25 单，平均值通常会变。「每单等待的分布」和「每批样本均值的分布」不是一回事。后者叫抽样分布，它描述重复使用同一抽样程序时统计量的变化。

样本均值 x̄ 是总体均值 μ 的点估计；用一个数猜总体参数，但这个数也有不确定性。标准误 SE 就是统计量抽样分布的标准差。标准差描述个体波动，标准误描述估计波动，名字相近，解释对象不同。

用四种结果亲眼看到它

设一个玩具总体只有两个等可能值 2 和 6，每次独立有放回地抽两次。四种等可能结果是：

单次观测均值为 4，方差为 4；样本均值仍以 4 为中心，方差变成 [(2−4)²+0+0+(6−4)²]/4=2。因此均值的标准误是 √2，比单次的标准差 2 小。

一般地，独立同分布且总体方差有限时：E(x̄)=μ，Var(x̄)=σ²/n，SE(x̄)=σ/√n。总体标准差未知时，通常用样本标准差估计：估计 SE=s/√n。使用 n−1 计算 s² 的原因已在第 3 课解释。

在上述条件下，n 足够大时，标准化样本均值的分布趋近正态，即使个体观测不正态。它没有让原始顾客等待时间「变正态」，也没有保证 n=30 对所有偏斜和重尾分布都足够。

若总体本来正态，样本均值在任意 n 下都是正态。若总体很偏斜，需要更大样本；若方差无限或观测强相关，不能直接套用本课结论。第 14 课中共享排队的相关性，就是需要检查的现实因素。

例如总体均值 5、标准差 2 分钟，随机独立抽取 100 单，样本均值的标准误为 0.2 分钟。使用正态近似，样本均值高于 5.4 的概率约为 P(Z>2)=0.02275。如果误把分母写成 2，会得到完全不同的概率，那是在算个体等待。

每单在 5 分钟内出齐记 1，否则记 0。若总体成功率为 p，n 单的成功数服从二项模型，样本比例 p̂=X/n，于是 E(p̂)=p，SE(p̂)=√[p(1−p)/n]。

设 p=0.5、n=200，标准误约 0.03536，即 3.536 个百分点。如果 p 未知，可用 p̂ 代入作估计；做假设检验时可能使用假设值 p0，第 18 课会解释区别。

不放回抽有限总体时，若抽样比例不可忽略，均值标准误需考虑有限总体修正。采用总体方差分母为 N 的记法，修正因子为 √[(N−n)/(N−1)]。本课程后续默认样本相对目标总体很小，或以独立观测模型为依据，不额外使用这个修正。

把等待时间的样本量从 100 改到 400，仍设 σ=2。先预测标准误会减半还是减为四分之一，再计算。

引导练习答案

从 0.2 变为 2/√400=0.1，减半。标准误按样本量平方根缩小，想缩小到原来的四分之一，样本量要变为 16 倍。

独立练习：100 单中 60 单准时，求 p̂ 及其估计标准误；解释「顾客准时状态的标准差」与「准时率估计的标准误」的差异。

参考答案

p̂=0.6，估计 SE=√(0.6×0.4/100)≈0.04899，约 4.90 个百分点。单个 0/1 状态的模型标准差约 √0.24=0.4899；一批 100 单的平均比例波动小得多。结果相差十倍时，检查是否忘了除以 √100。