从柱子到面积：连续变量与正态分布

目标：把连续变量的区间转换为曲线面积，并用标准化计算正态概率。

二项与泊松的结果是一个个整数。等待时间却可以是 4.1、4.12、4.123 分钟。对连续变量，不能给每个精确点都分配一个正概率再求和，否则无限多点会使总概率失控。我们改用密度曲线，区间内的面积才是概率。

先用矩形理解密度

假设某个取餐提示在 0 到 2 分钟之间等可能地出现，密度是高度 0.5 的水平线：底宽 2、高 0.5，总面积为 1。提示在 0.5 到 1.5 分钟出现的概率为 (1.5−0.5)×0.5=0.5。

精确等于 1 分钟的单点没有宽度，概率为零；这不表示观测不会发生，而是任何事先指定的无限精度单点概率为零。实际显示为「1.0 分钟」通常代表一个舍入区间，概率可以非零。密度值也可以大于 1，只要总面积为 1，例如均匀分布在 0 到 0.5 分钟时密度为 2。

连续变量的期望仍是「按概率加权的平均」，只是求和改为积分，即把很细的面积片相加。若见到 E(X)=∫xf(x)dx，可以这样理解；方差仍为 E(X²)−[E(X)]²。本例均匀分布的均值为 1，方差为 (2−0)²/12=1/3，无需先学积分证明也能完成本课。

正态分布是一族对称的钟形曲线，由均值 μ 和标准差 σ 决定。本课程把它写成 N(μ,σ²)，第二个参数是方差。假设某个稳定制作环节用时 X∼N(5,1²)，即均值 5 分钟，标准差 1 分钟。

不同正态曲线都可以转换为标准正态 Z：Z=(X−μ)/σ。先减均值使中心移到 0，再除标准差使宽度变为 1。定义 Φ(z)=P(Z≤z)，它是从最左边累计到 z 的面积。

超过 6 分钟意味着 Z>1，因此概率为 1−Φ(1)=0.15866。4 到 6 分钟之间意味着 −1≤Z≤1，概率为 0.84134−0.15866=0.68268。注意右尾要用 1 减左侧累计值。

对正态分布，约 68%、95%、99.7% 落在均值上下 1、2、3 个标准差内。若不知道分布形状，但方差有限，切比雪夫不等式只保证距离均值小于 k 个标准差的概率至少为 1−1/k²，k>1；k=2 时仅保证至少 75%。不能把正态的 95% 套给任意分布。

核对结果

z=2，超时概率 1−0.97725=0.02275，约 2.28%。超时比例下降是因为定义变宽，原来的用时分布完全没变。两期报告门槛不一致时，不能据此声称流程改进。

另一个环节用时服从 N(10,2²)，求低于 8 分钟的概率，以及 95% 单侧分位点，即约 95% 的用时不超过多少分钟。

参考答案

8 对应 z=−1，概率约 0.15866。95% 分位点为 10+1.645×2=13.29 分钟。若用 1.96 得到 13.92，你选的是 97.5% 单侧分位点，1.96 常用于中央 95% 的双侧区间。

等待时间常有右长尾，不能仅凭「连续」就选正态分布。先看图形和生成过程；正态模型允许负值，只有负值区域概率可忽略时，才可能适合描述非负时长。