把可能性数清楚：事件与概率规则
目标：从明确的样本空间计算事件、补集、并集与交集的概率。
咖啡店做抽签活动，六张签分别写着 1 到 6，充分混匀后抽一张。所有可能结果组成样本空间 Ω={1,2,3,4,5,6}。事件是其中的一组结果，例如 A「抽到偶数」等于 {2,4,6}。
在六张签等可能的前提下，P(A)=3/6=1/2。这里 P 表示概率，取值从 0 到 1。计数法的关键是「等可能」，不是有几个名称：抽一张写着两倍字号的签不增加概率，抽取机制偏向某张签时也不能直接按张数均分。
三种关系，三种读法
设 B 为「抽到大于 4」，即 {5,6}。
| 表达 | 读法 | 结果集合 | 概率 |
|---|---|---|---|
| Aᶜ | A 不发生，补集 | {1,3,5} | 3/6 |
| A∩B | A 与 B 同时发生 | {6} | 1/6 |
| A∪B | A 或 B 至少一个发生 | {2,4,5,6} | 4/6 |
「或」默认包含两者同时发生。把 A 的三张和 B 的两张直接相加，会把 6 数两次，因此：
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
= 3/6+2/6−1/6 = 4/6
P(Aᶜ) = 1−P(A)
两个事件没有交集，叫互斥，例如「抽到偶数」与「抽到奇数」。互斥时交集概率为零，可以直接相加。互斥不等于独立：若知道抽到了偶数，就确定没有抽到奇数，信息显然影响判断。独立的计算规则留到下一课。
用表格避免漏数
现在同时掷一枚公平硬币和抽一张签，并假设二者独立。样本空间有 12 个等可能的「硬币结果、签号」组合。事件 C「正面且偶数」包含 (正,2)、(正,4)、(正,6)，所以概率为 3/12=1/4。样本空间换了，就不能沿用 6 作分母。
要算「至少出现一项：正面或者偶数」，最省力的方法是取补集。两项都没出现意味着反面且奇数，共 3 个结果。故所求为 1−3/12=3/4。直接数并集也会得到 9 个结果。
概率是对模型中不确定结果的描述。现实频率来自实际观察，例如一天 100 单里有 30 单用券，观察比例是 30%；它可以帮助估计未来用券概率，却不保证明天恰好也是 30 单。
跟着做：改变一个事件
- 回到单次抽签，把 B 改成「大于或等于 4」，即
{4,5,6}。 - 分别列出 A∩B 与 A∪B，再用公式复核。
- 解释交集和并集为何没有增加相同的概率。
核对结果
交集为 {4,6}，概率 2/6；并集仍为 {2,4,5,6}，概率 4/6。新加入 B 的 4 原本已在 A 中，所以增加交集，却没有增加并集。如果得到 5/6，说明遗漏了对重复结果的扣除。
独立练习
在 40 张等可能抽到的订单卡中，会员订单 18 张、外带订单 25 张、同时为会员与外带的 12 张。求「会员或外带」「既非会员也非外带」「会员但非外带」的概率。
参考答案
并集有 18+25−12=31 张，概率 31/40=77.5%；两者都不是有 40−31=9 张，概率 22.5%；会员但非外带有 18−12=6 张，概率 15%。四个不重叠区域是「仅会员 6、仅外带 13、两者都是 12、两者都不是 9」，相加为 40。
答案超过 1 时先找重复计数；补集算错时，先用日常语言写出「原事件完全不发生」是什么。下一课会改变分母：只在已知满足某条件的订单中计算。