比较两个方案：比例与差值的区间

目标：为独立两组的差异计算区间，并结合差异方向和实际门槛解释改善幅度。

按照第 14 课预先约定的方案，街角咖啡完成正式实验。以下是供后续各课共用的完整汇总输入；样本标准差采用 n−1。假定记录完整、订单独立、两组分配执行正确，均值的近似推断适用。这些汇总足以复核本课算术，不能替代真实项目中检查原始记录、异常值与时间趋势。

组别	订单数 n	平均等待 x̄	样本标准差 s	5 分钟内出齐
A 旧流程	200	5.2 分钟	2.0 分钟	100 单
B 新流程	200	4.4 分钟	2.0 分钟	130 单

本课始终用「B−A」。等待差为负表示更快，准时率差为正表示更好。先定方向，避免报告中前后颠倒。

均值差：误差来自两组

估计差 d=4.4−5.2=−0.8 分钟。独立组的均值方差相加，所以 SE(d)=√(sA²/nA+sB²/nB)=√(4/200+4/200)=0.2 分钟。

使用不要求总体方差相等的 Welch 方法。设 vA=sA²/nA、vB=sB²/nB，自由度近似为 (vA+vB)²/[vA²/(nA−1)+vB²/(nB−1)]。本例 vA=vB=0.02，得到 df=398，中央 95% 临界值约 1.966。

于是区间为 −0.8±1.966×0.2，即 [-1.1932,-0.4068] 分钟。换成「缩短幅度」的正数说法，为约 0.407–1.193 分钟，点估计缩短 0.8 分钟。

区间全在 0 的一边，说明数据支持平均等待有改善。但第 14 课定义的有价值门槛为至少缩短 0.5 分钟。区间仍包含小于 0.5 的改善，因此「改善存在」与「已充分证明达到经营门槛」是两句话。

先看单组比例。B 的 p̂=130/200=0.65。用正态近似得到单个比例区间 p̂±1.96√[p̂(1−p̂)/n]，约为 [0.584,0.716]。这叫 Wald 区间，本课用于说明标准误结构；成功与失败计数都足够大、比例远离 0 和 1 时才考虑使用，它的覆盖率仍只是近似。

小样本或比例接近边界时，不能把负下界截成 0 就宣称方法有效。可采用 Wilson 区间或精确二项区间。比如 10 次全部成功，简单代入法得到 [1,1]，显然忽略了不确定性。Wilson 的计算写法为：

D = 1+z²/n
中心 = (p̂+z²/(2n))/D
半宽 = z×√[p̂(1−p̂)/n+z²/(4n²)]/D
区间 = 中心 ± 半宽

取 z=1.96、n=10、p̂=1，结果约为 [0.722,1.000]。本课正式案例不在这种边界情形。

两组准时率的差为 0.65−0.50=0.15，即增加 15 个百分点；相对增长则是 30%，两个数不能混称。独立比例差的估计标准误为：

SE = √[0.65×0.35/200 + 0.50×0.50/200] ≈ 0.04886
95% 近似区间 = 0.15±1.96×0.04886 ≈ [0.0542,0.2458]

说明提升约为 5.42–24.58 个百分点。这是两个估计值相减的区间，不是把两个组的区间端点随意相减。次要指标的解释还要顾及多重比较，第 19 课会继续说明。

把两组样本量都改为 50，均值和 s 保持不变。用 df=98 的 t 临界值 1.984 计算等待均值差区间。

核对答案

SE=√(4/50+4/50)=0.4，区间 −0.8±0.7936，约 [-1.594,-0.006]。同样的点估计，不确定性大了很多；区间上界仅略低于零，中间结果过早舍入容易改变判断。

四名员工各做一次旧操作和一次新操作，新减旧的差为 −2、−1、0、−1 分钟。应分析八个独立观测还是四个差？假设差值独立且近似正态，求差均值的 95% 区间。

参考答案

分析四个配对差，均值 −1，差值的样本标准差 √(2/3)≈0.8165，SE≈0.4082，df=3。区间 −1±3.182×0.4082≈[-2.30,0.30]。不能把同一个员工的两次测量当成两个独立的人。四对很少，正态条件也难判断，因此这是说明计算结构的例题。