合计与近似：正态分布的进一步应用
目标：正确计算独立正态变量的合计分布，并对离散计数进行带连续性修正的近似。
一杯饮品先经过制作，再经过打包。假设制作时间 X 服从 N(3,0.5²)，打包时间 Y 服从 N(2,0.4²)，且两者独立。总时间 T=X+Y 的均值是 5，方差是 0.25+0.16=0.41，标准差 √0.41≈0.6403。
独立正态变量的和仍为正态，因此 T∼N(5,0.41)。超过 6 分钟的标准分数约 (6−5)/0.6403=1.562，其右尾概率约 0.0592。这里需要相加的是方差，不是标准差。
相加与倍增不能混用
若 X1、X2 是两次独立制作，X1+X2 的方差为 2×0.25=0.5。若某次制作时间因为机械动作整体放慢而变成 2X，方差是 4×0.25=1。两者均值都是 6，却有不同波动。
独立正态变量的差也为正态：X−Y 的均值为 1，方差仍为 0.41。一般的 aX+bY+c，均值为 aμX+bμY+c，独立时方差为 a²σX²+b²σY²。若同一波拥堵同时拖慢制作与打包，两者相关，方差还会涉及协方差，不能直接忽略。此时先补充关联信息，不硬套独立公式。
用平滑曲线近似离散柱子
有时二项计数的试验很多，逐项求和麻烦。对 K∼Bin(n,p)，可用均值 np、方差 np(1−p) 的正态变量近似。作为入门筛查，本课要求 np 和 n(1−p) 都至少为 10；这只是经验条件，极端尾部即使满足它也可能近似不佳，有精确计算工具时优先核对。
例如 K∼Bin(100,0.5)，均值 50，标准差 5。要算 P(K≤60)，连续曲线应积分到 60.5，因为整数 60 的柱子占据约 59.5 到 60.5 的区域：
P(K≤60) ≈ P(Y≤60.5)
z=(60.5−50)/5=2.1
Φ(2.1)≈0.98214
二项精确结果约 0.98240。若不加 0.5，近似为 Φ(2)=0.97725，误差更大。这一步叫连续性修正。
| 离散事件 | 对应连续区间 |
|---|---|
| K≤a | Y<a+0.5 |
| K≥a | Y>a−0.5 |
| K=a | a−0.5<Y<a+0.5 |
| a≤K≤b | a−0.5<Y<b+0.5 |
泊松计数 λ 较大、分布不再过度偏斜时，也常用 N(λ,λ) 近似并修正边界。例如 λ=25，计算 K≤30 用 (30.5−25)/5=1.1，近似概率 0.86433；精确约 0.86331。λ=2 时仍明显偏斜，应保留泊松计算。没有一个 λ 门槛能保证所有尾部都准确。
跟着做：换成「至少 60」
- 仍用 Bin(100,0.5)。
- 在数轴上画出整数 60 的整根柱子，确认左边界。
- 用本课补充值 Φ(1.9)=0.97128 计算。
核对答案
左边界为 59.5，z=1.9，概率约 1−0.97128=0.02872。精确结果约 0.02844。若得到 0.01786，你用了 60.5，近似的是 K≥61。
独立练习
两个独立正态用时均为 N(4,1²)。求它们的平均值 M=(X1+X2)/2 的均值和标准差。随后为二项变量的事件 8≤K≤12 写出连续性修正区间，无需计算概率。
参考答案
E(M)=4，Var(M)=(1+1)/4=0.5，标准差约 0.7071。修正区间为 7.5<Y<12.5。如果平均值的波动比单次更大，检查除以 2 时方差是否除以了 4。这个「平均后更稳定」的现象，将在第 15 课变成标准误。