一段时间来多少人：泊松分布

目标：根据事件发生率和观察时长建立泊松计数模型，并检查其适用边界。

店员知道某个稳定时段平均每十分钟来两位顾客，想估计「十分钟一位顾客也没有」的概率。这里没有预先固定多少次试验，随机的是给定时间内的到店次数，可能为 0、1、2，理论上没有固定上限。

泊松模型把一段区间内的平均事件数写作 λ，读作 lambda。在事件独立发生、发生率稳定，且极短区间内多次同时发生的可能性可忽略的模型下，计数 X 满足：

P(X=k) = e^(−λ) × λ^k / k!，k=0,1,2,…
E(X)=λ，Var(X)=λ

e 约为 2.71828，可用计算器的 eˣ 键。λ 是这一观察区间的平均数，不是没有时间单位的万能参数。每十分钟平均两人，五分钟对应 λ=1，半小时对应 λ=6，前提是发生率没有变化。

完整算一次

取十分钟，λ=2。利用 0!=1 和 2⁰=1：

P(X=0) = e^(−2) ≈ 0.135335
P(X=1) = e^(−2)×2 ≈ 0.270671
P(X=2) = e^(−2)×2²/2 ≈ 0.270671
P(X≥3) = 1−上述三项 ≈ 0.323324

「平均两人」并不意味着最可能恰好两人且没有其他高概率结果：本例 1 人和 2 人概率相同。标准差为 √2≈1.414 人。得到这些概率后，还必须问实际客流是否符合模型。

若有人结伴进店，多人的到达相关；若把午高峰与下午空闲混成一个发生率，λ 不稳定。这两种情况都可能让实际波动远大于平均数。方差与均值接近是一个检查线索，不是证明泊松模型成立的充分条件。

两个互相独立时段的计数分别服从泊松分布，均值为 λ1 与 λ2，则合计仍为泊松，均值为 λ1+λ2。例如相邻两个独立、稳定的十分钟各平均两人，二十分钟 λ=4。只知道均值可相加，还不足以保证分布也能按这条规则合并。

另一个入口来自二项分布：n 很大、p 很小、np 保持适中时，可用 λ=np 的泊松分布近似二项计数。例如 1000 个独立包装各有 0.002 概率产生某类瑕疵，λ=2；零瑕疵的二项精确概率 0.998¹⁰⁰⁰≈0.135065，泊松近似约 0.135335。差异很小，但这仍是近似。

核对答案

λ=1，至少一人概率 1−e^(−1)≈0.632121；十分钟为 1−e^(−2)≈0.864665，两者不是二倍关系。均值随时长成比例，至少发生一次的概率受到上界 1 约束，不是线性变化。

假设稳定时段每小时平均收到三条独立咨询，求半小时恰有一条咨询的概率、半小时咨询数的期望与标准差。再说明「每一小时都恰好三条」是否是这个模型的预测。

参考答案

λ=1.5，恰一条概率 1.5e^(−1.5)≈0.334695，期望 1.5，标准差 √1.5≈1.225。模型允许每小时数量波动，不预测每小时都恰有三条。若概率大于 1，检查指数前的负号、阶乘和 λ 的时间单位。