证据够不够：假设检验

目标：预先写出假设与判断规则，计算检验统计量，并正确解释 p 值和决策。

置信区间表达参数有哪些合理取值。假设检验则从一个明确的基准出发：如果基准成立，这样极端的数据有多常见？它不是给观点打一个「真相概率」，而是在模型条件下衡量数据与基准的相容程度。

原假设 H0 是作为参照的参数陈述，备择假设 H1 表达要寻找的偏离方向。两者应关于总体参数，而不是已经观察到的样本平均。双侧检验关注两个方向；单侧检验只关注预先指定的方向，不能看到结果后再选择省一半 p 值的方向。

完整走一遍：总体均值是否为 5

使用第 16 课单独例题：16 次独立、近似正态制作时间，x̄=4.5、s=0.8。事先设 H0：μ=5；H1：μ≠5；显著性水平 α=0.05。

SE = 0.8/√16 = 0.2
t = (4.5−5)/0.2 = −2.5
df = 15

α=0.05 的双侧临界点为 ±2.131；−2.5 落在更外侧，所以拒绝 H0。也可以算 p 值：在 H0 下，t 分布两端满足 |T|≥2.5 的概率，约为 0.02451。它小于 0.05，给出相同决策。

只有临界值表时，可以比较临界点而不必报精确 p 值；软件才能提供更细的尾部面积。不要从「小于 0.05」编出一串未经计算的小数。

p≈0.02451 表示：如果 μ=5 且相关模型条件成立，重复研究中出现本次这样或更极端统计量的概率约为 2.45%。它不是 H0 为真的概率，不是数据出错概率，也不是效果大小。本例第 16 课的 95% 区间不包含 5，与同一模型下的双侧检验一致。

假设检验一个固定规则是否使准时概率高于 0.5。预先约定 H0：p=0.5，H1：p>0.5。20 个独立订单中 16 个准时，则 H0 下 X∼Bin(20,0.5)。单侧精确 p 值是：

P(X≥16) = [C(20,16)+C(20,17)+C(20,18)+C(20,19)+C(20,20)]/2²⁰
         = (4845+1140+190+20+1)/1048576
         ≈ 0.005909

不是只算 P(X=16)，因为更极端的 17–20 也要包含。若用大样本比例 z 检验，H0 下的标准误是 √[p0(1−p0)/n]，其中用假设值 p0；这与上一课为了估计区间而代入 p̂ 的目的不同。小样本可以像本例直接做精确计算。

对第 17 课等待时间，事先使用双侧 H0：μB−μA=0，H1：μB−μA≠0，α=0.05。Welch 统计量 t=−0.8/0.2=−4，df=398，双侧 p 约 0.0000755。数据支持 B 的平均等待更短，区间为约缩短 0.407–1.193 分钟。

由于尚不能充分确认至少缩短 0.5 分钟，不能只凭很小的 p 值就说经营目标已达成。如果不拒绝 H0，也只能说证据不足，不能把它写成「两种方案完全相同」。

保持单样本例题的 n=16、s=0.8，把 x̄ 改为 4.8。计算 t 并和 ±2.131 比较。

引导练习答案

t=−1，没有进入拒绝区域；在 α=0.05 下不拒绝 H0。95% 区间为 [4.3738,5.2262]，包含 5，也包含不少其他均值，因此不是证明 μ 恰好等于 5。

独立练习：四次公平独立试验全部成功。有人用单侧精确检验 H0：p=0.5，H1：p>0.5，得到 p=1/16。α=0.05 时怎么判断？「成功率观察为 100%，所以已经证明真实成功率很高」有什么问题？

参考答案

p=0.0625>0.05，不拒绝 H0。观察比例 100% 来自很小样本，估计依然不确定。若错误使用 p̂=1 计算零标准误，会制造虚假的确定性。先检查样本量与模型，再选择计算方法。