一个估计值不够：均值的置信区间

目标：为总体均值构造置信区间，并用重复抽样的含义解释置信水平。

一次试做得到平均等待 4.5 分钟。我们并不知道总体均值恰好等于 4.5；再抽一批，结果会变化。点估计后面加一个合理的误差范围，可以让读者看到估计精度。

许多区间都遵循同一结构：点估计 ± 临界值 × 标准误。标准误由数据和设计决定，临界值由分布与希望覆盖的比例决定。区间宽度反映随机抽样不确定性，不能自动涵盖错误计时、选择偏差等系统问题。

σ 已知与未知的差别

若总体标准差 σ 确实已知，且均值服从正态或正态近似可靠，中央 95% 区间为 x̄±1.96σ/√n。1.96 的左右各留 2.5% 面积。

现实里 σ 通常未知，只能用 s。代入估计的标准差会增加不确定性；使用 t 分布的较厚尾部来反映它。独立正态样本下，服从 t 分布的是 (x̄−μ)/(s/√n) 这个统计量，不是原始样本，也不是 x̄ 自身。自由度 df=n−1；n 增大时 t 分布逐渐接近标准正态。

查表时要同时看自由度、单侧还是双侧、尾概率还是累计概率。本表的 2.131 对应 df=15 的左侧累计概率 0.975，而不是 0.95。

完整例题

另取 16 次独立、过程稳定且总体近似正态的制作时间，得到 x̄=4.5、s=0.8 分钟。这是本课单独的计算例题，不是前面八单，也不是正式 400 单实验。

估计 SE = 0.8/√16 = 0.2 分钟
df = 16−1 = 15
误差界 = 2.131×0.2 = 0.4262 分钟
95% 区间 = [4.0738, 4.9262] 分钟

使用更精确临界值会得到略微不同的末位；报告为 [4.07,4.93] 足够。小样本时要特别检查严重偏斜和异常值；把「n 小」当作唯一条件，直接套 t 区间，不足以保证有效。

95% 到底在说谁

想象反复从同一总体按同一规则抽取 16 次，每次都算一个区间。在模型条件成立时，长期约 95% 的区间覆盖固定的总体均值。变化的是区间，μ 不随抽样移动。

因此不能解释成「95% 的顾客等待落在这个区间」，那是在说个体分布；也不能把频率学派的区间解释成「μ 在这个已算好的区间内的概率为 95%」。实际表达可以写：「总体均值的 95% 置信区间为 4.07–4.93 分钟」，并附上适用条件。

跟着做：要求更高置信度

1. 保持 n、x̄、s 不变，改算中央 99% 区间。
2. 使用 df=15 时的临界值 2.947。
3. 先预测区间变宽还是变窄，再解释取舍。

独立练习

独立、近似正态的 10 个观测得到 x̄=12、s=3。求总体均值的 95% 区间。若在规划阶段希望把误差界大约减半，需要怎样改变样本量？

如果区间出奇地窄，先查你用的是 s/√n 还是误用了 s/n；如果结果精度很高却样本来自便利抽样，先处理代表性问题。下一课将把区间用于两个方案的差异。

参考资料

• NIST：总体均值的置信区间
• NIST：t 分布临界值表