第一课：什么叫“不变”？

作为程序员，你对“状态转换”和“操作”一定不陌生。群论，从本质上来说，就是研究“对一个对象进行操作后，还能保持某种不变性”的学问。这种性质在数学中被称为对称性（Symmetry）。

忘掉那些复杂的公式，让我们从一个最简单、最具体的对象开始：一个完美的正方形。

正方形的动作

想象你手里拿着一块正方形的纸板。我们定义一个规则：你对它进行某种动作后，放回原处，它看起来必须和之前一模一样（占用的空间轮廓完全相同）。

比如，“顺时针旋转90度”就是一个合法的动作。虽然四个角的位置变了，但整体上看，它依然是一个正方形。

我们把“顺时针转90度”这个动作记作 R。

如果我们做两次这个动作，就是 R 接着 R，我们可以记作 R²（转180度）。做三次就是 R³（转270度）。

第一个概念：动作的集合

群论研究的不是这个正方形本身，而是“能够操作这个正方形的动作的集合”。

这里有一个极其关键的动作，很多初学者会忽略它：什么都不做。我们把“什么都不做”的动作记作 I (Identity，也就是单位动作)。